مفاهيم اولية في الجبر ~ الموسوعة العربية العالمية

كتابة المجموعة بذكر عناصرها

الهدف :
أن يتعرف الدارس إلى كيفية الكتابة الرياضية لمجموعةٍ ما بذكر عناصرها .

الخبرات السابقة :

مفهوم المجموعة , العنصر , إنتماء أو عدم إنتماء العنصر إلى مجموعة ما (

)

تمهيد :

1) نستخدم اشارة الحاصرتين { } لكتابة عناصر مجموعة ما داخلهما .

مثل :

مجموعة الفصول الأربعة هي : الصيف ، الشتاء ، الربيع ، الخريف

وبالتالي نكتب مجموعة الفصول الأربعة = } الصيف ، الشتاء ، الربيع ، الخريف {

2) عندما نكتب عناصر مجموعة ما داخل اشارة الحاصرتين { } لاحظ أننا نصنع الفاصلة ( ، )
بين كل عنصرٍ وآخر .

مجموعة الأعداد الزوجية المحصورة بين العدد (1) و العدد (11) = { 2 , 4 , 6 , 8 , 10}

3) إذا كانت س هي مجموعة الفقاريات التي تضم :

(الأسماك ، الزواحف ، الطيور ، البرمائيات ، الثدييات ) فإننا نستطيع التعبير رياضياً عن هذه المجموعة كالتالي

س = } الأسماك ، الزواحف ، الطيور ، البرمائيات ، الثدييات {

وكذلك

س = } الثدييات ، الطيور ، البرمائيات ، الزواحف ، الأسماك {

وكذلك

س = } الزواحف ، البرمائيات ، الثدييات ، الأسماك ، الطيور {

ماذا تُلاحظ !!

نحن نذكر عناصر المجموعة داخل الحاصرتين وبأي ترتيب كان ، إذن :

s reserved الحقوق القانونية و حقوق الملكية الفكرية محفوظة للمدرسة العربية

كتابة المجموعة بذكر الصفة المميزة

الهدف : أن يتعرف الدارس إلى كيفية الكتابة الرياضية لمجموعة ما بذكر الصفة المميزة لعناصرها.

الإجراءات والأنشطة :

أولاً :

الصفة المميزة		المجموعة
كل عنصر هو فصل من فصول السنة		س = } الصيف ، الربيع ، الشتاء ، الخريف {	1.
كل عنصر هو عدد زوجي يقع بين 1 ، 9		ع = { 2 ، 4 ، 6 ، 8 }	2.
كل عنصر هو عدد فردي يقع بين 10 ، 20		ل = { 11 ، 13 ، 15 ، 17 ، 19 }	3.
كل عنصر هو يوم من أيام الأسبوع	و = } السبت ، الأحد ، الاثنين ، الثلاثاء ، الاربعاء ، الخميس والجمعة{		4.

يمكننا التعبير عن مجموعة ما ، بكتابة الصفة المميزة بدلاً من ذكر وكتابة عناصرها

مثل1 :

المجموعة الأولى = } س : س فصل من فصول السنة {

وتُقرأ مجموعة فصول السنة ( س ) حيث س فصل من فصول السنة .

المجموعة الثانية = } ع : ع عدد زوجي يقع بين 1 ، 9 {

وتُقرأ مجموعة الأعداد الزوجية ( ع ) ، حيث ع عدد زوجي يقع بين 1 ، 9 .

المجموعة الثالثة : ص = } ل : ل عدد فردي يقع بين 10 ، 20 {

وتُقرأ ص مجموعة الأعداد الفردية ( ل ) حيث ل عدد فردي يقع بين 10 ، 20 .

المجموعة الرابعة : س = } و : و يوم من أيام الأسبوع {

وتقرأ س مجموعة أيام الاسبوع ( و ) حيث و يوم من أيام الأسبوع .

مثل2 :

كيف تقرأ التالي : ص = } س : س عدد فردي يقع بين 2 ، 10 {

نقول ص مجموعة الأعداد الفردية س حيث س عدد فردي يقع بين 2 ، 10

ونستطيع القول :
ص مجموعة الأعداد س حيث س عدد فردي أكبر من 2 وأصغر من 10

}س : س .... { تُقرأ مجموعة س حيث س .....

مثل 3 :

1) المجموعة ص = } س : س عدد يقبل القسمة على 5 ، ويقع بين 1 ، 101 } تكتب أيضاً على الصورة

ص = { 5 ، 10 ، 15 ، 20 ، 25 ، 30 ، ... ، 100}

وهذه النقط ، ... ، تعني أننا نقصد استمرار كتابة العناصر الأخرى حتى نصل إلى العدد الأخير 100 .

2) المجموعة ع = } ل : ل عدد زوجي أكبر من 1 {

ع = { 2 ، 4 ، 6 ، 8 ، ...}

النقاط .... في هذه المجموعة تشير إلى استمرارية كتابة العناصر على نفس المنوال دون انتهاء .

ما هو أكبر عدد زوجي تعرفه !!هل تعرف ما هو أكبر عدد زوجي !!

عدد عناصر المجموعة

الهدف : أن يتعرف الدارس إلى العلاقة بين عناصر مجموعة ما وعدد هذه العناصر .
الإجراءات والأنشطة :

1) يتكون العدد 635 من ثلاثة أرقام مميزة هي 5 ، 3 ، 6 .

نقول س = { 5 ، 3 ، 6 } وتُقرأ

(س) مجموعة أرقام العدد 635

ـ كم عدد عناصر المجموعة س ؟؟ 3 عناصر مميزة (مختلفة) .

2) تتكون كلمة فلسطين من ستة أحرف مميزة هي ف ، ل ، س ، ط ، ي ، ن

نقول ص = } ف ، ل ، س ، ط ، ي ، ن { وتُقرأ

(ص) مجموعة أحرف كلمة فلسطين

ـ كم عدد عناصر المجموعة ص ؟؟ 6 عناصر مميزة .

3) يتكون العدد 212 من ثلاثة أرقام : هي 2 ، 1 ، 2

وهو يتكون من رقمين مميزين هما 2 ، 1

وتتكون كلمة جنين من أربعة أحرف ! هي ج ، ن ، ي ، ن

ولكن هذه الكلمة تتكون من ثلاثة (3) أحرف مميزة (مختلفة) هي ج ، ن ، ي

تُرى كيف ستكتب المجموعة المعبرة عن أرقام العدد 212 بذكر عناصرها !

س = { 2 , 1 , 2 } أو س = { 1 , 2 } س = { 1 , 2 ( مكرر مرتان )}

المجموعة المعبرة عن أحرف كلمة جنين

ص =} ه(1)ج ، (1) ي ، (2) ن {

أو

ص = } ج ، ي ، ن {

أو

ص = } ج ، ي ، ن ، ن {

هل تُلاحظ فرقاً أو اختلافاً في هذه الحالات !!

عدد عناصر المجموعة

بشكل عام نحن لا نكرر كتابة عناصر المجموعة داخل الاقواس حيث نكتفي بكتابة العناصر المميزة ، وذلك للإختصار وعدم الاطالة .
ولكن يلزمنا في بعض الأحيان أن نتعرف إلى عدد العناصر الكلي لمجموعة ما ، وعندها يُمكنناكتابة كافة عناصر المجموعة المميزة مع كتابة تكرار كل واحد منها .

لاحظ أن ص = } ج ، ي ، ن { تُعبر عن مجموعة أحرف كلمة جنين .

وكذلك ص = } ج ، ي ، ن ، ن { تعبر عن مجموعة أحرف كلمة جنين .

وكذلك ص = } ج ، ي ، ن (مكرر مرتان ) { تُعبر عن مجموعة أحرف كلمة جنين .

وبالمثل :

س = { 1 , 2 } تُعبر عن مجموعة أرقام العدد 212 .

س = { 1 , 2 , 2 } تُعبر عن مجموعة أرقام العدد 212 .

س = { 2 مكرر مرتان , 1 } تُعبر عن مجموعة العدد 212

4) يتكون العدد 5755 من أربعة ارقام ! هي 5 ، 5 ، 7 ، 5 وهو يتكون من رقمين مميزين 5 ، 7

نقول ع = { 5 , 7 } وهنا عدد عناصر المجموعة يدلنا على عدد الأرقام المميزة في مجموعة أرقام العدد 5755 .

ونقول : ع = { 5 ( مكرر ثلاث مرات ) , 7 }
ع = { 5 , 7 , 5 , 5 }

وعدد العناصر هنا يدُّلنا على العدد الكلي لارقام ( عناصر ) العدد 5755 .

وبالمثل :

إذا كانت س هي مجموعة أحرف كلمة رياضيات , نقول :

س = } ر ، أ ، ي ، ض ، ت {

وعدد العناصر هنا يدُّلنا على عدد الأحرف المميزة في كلمة رياضيات .

ونقول : س = } ر ، ي ، أ ، ض ، ي ، أ ، ت {

وعدد العناصر هنا يدَّلنا على العدد الكلي لاحرف كلمة رياضيات .

سؤال : عبّر عن كل مجموعة مما يأتي بطريقة ذكر العناصر :

س = مجموعة أيام الأسبوع

ص = مجموعة أرقام العدد 2562

ع = مجموعة أسماء أفراد أسرتك .

المجموعة الجزئية

الهدف : أن يتعرف الدارس إلى مفهوم المجموعة الجزئية وعلاقتها بالمجموعة الرئيسة .

الاجراءات والأنشطة :

لنأخذ المجموعة س التي تمثل أرقام العدد 8624

س = { 4 , 2 , 6 , 8 }

يمكننا تكوين مجموعة أو مجموعات جزئية من هذه المجموعة الرئيسة بأخذ عنصر أو أكثر منها وكتابتها ضمن مجموعة جديدة .

ع = { 6 , 8 , 2}	ص = { 4 }
د = { 6 , 2 , 4 } ... وهكذا	ل = {4 , 6 }

ماذا تُلاحظ هنا : كل عناصر ع تنتمي إلى س

كل عناصر ل تنتمي إلى س

كل عناصر د تنتمي إلى س

كل عناصر ص تنتمي إلى س

نقول هنا: ع مجموعة جزئية من س أو نقول ع محتواة في س

نعبر عن هذه الجمل بالصورة الرياضية التالية ع ة س

نقول: ل محتواة في س

ل ة ... تُقرأ ل محتواه في ...

ل ة س

أو ل مجموعة جزئية من .....

ونقول: المجموعة ص مجموعة جزئية من المجموعة الكلية س

ص ة ... تُقرأ ص محتواة في .......

ص ة س

أو ص مجموعة جزئية من .....

المجموعة الجزئية

الرمز : يُقرأ غير محتواة في ويُقرأ أيضاً مجموعة غير جزئية من

مثل : إذا كانت س = } أحمر ، أخضر ، أصفر {

وكانت ص = } أزرق ، بني {

لاحظ هنا أنَّ عناصر ص غير محتواة في س

نقول : ص س
ص غير محتواة في س أو ص مجموعة غير جزئية من س

مثل : إذا كانت ع = } أ ، ب ، ت ، ث {

م = } أ ، ب ، ل {

العنصر ل ع	العنصر ل م
العنصر ت ع	العنصر ت م

ع م	وكذلك	م ع
ع مجموعة غير جزئية من م		م غير محتواة في ع

مثل : إذا كانت س = { 2 ، 4 ، 6 } ، 6

ص = { 2 ، 4 } , 6

ماذا تستنتج !؟س ص ، س غير محتواة في ص

ولكن :

كل عناصر ص محتواة في س
ص ة س ، ص محتواة في س

ص مجموعة جزئية من س

نقول أن المجموعة ص مجموعة جزئية من المجموعة س إذا وفقط كان كل عنصر من عناصر المجموعة ص ينتمي إلى المجموعة س .

سؤال : إذا كانت س = { 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9}
عين أي المجموعات الآتية مجموعة جزئية من س وأيها ليست جزئية من س مع ذكر السبب ؟؟

ب = { 9 }	أ = { 3 , 1 }
د = { 2 ، 3 ، 6}	ج = { 2 ، 5 ، 7}

المجموعات المتكافئة ( التساوي )

الهدف : أن يتعرف الدارس إلى مفهوم المجموعة المتكافئة .
الإجراءات والأنشطة :

مثل1 :
ما العلاقة بين س ، ص إذا كانت س مجموعة أحرف كلمة عنب ، و ص مجموعة أحرف نَبع .

س = } ع ، ن ، ب { ، ص = } ن ، ب ، ع {

ماذا تُلاحظ :

أولاً :

2) كل عنصر في ص ينتمي إلى س	1) كل عنصر في س ينتمي إلى ص
أي أن كلاً من س و ص تحتويان نفس العناصر

ثانياً :

2) المجموعة ص محتواة في المجموعة س	1) المجموعة س محتواة في المجموعة ص
ص ة س	س ة ص

ماذا تستنج !؟
س = ص إذا وفقط كانت س ة ص وكذلك ص ة س.

مثل2 :

ما العلاقة بين س ، ص إذا كانت

س مجموعة أحرف كلمة دمار ، و ص مجموعة أحرف كلمة مارد

س = } د ، م ، ا ، ر { ، ص } م ، ا ، ر ، د {

هل تذَّكر أن ترتيب العناصر داخل المجموعة لا يغير المجموعة !!

لاحظ هنا : كل عناصر س محتواة في ص

(كل عنصر في س ينتمي إلى ص)

س ة ص
وكذلك : كل عناصر ص محتواة في س

(كل عنصر في ص ينتمي إلى س )

ص ة س

س ة ص ، ص ة س

نقول هنا : س = ص أي أن س ، ص تتكونا من العناصر نفسها .

مثل3 :
إذا كانت س هي مجموع أرقام العدد 959442 ، و ص هي مجموعة أرقام العدد 2495

فما هي العلاقة بين س ، ص؟

الحل :

س = {2 ، 4 ، 9 ، 5 }

ص = { 5 ، 9 ، 4 ، 2}

بما أن عناصر س المميزة هي نفس عناصر ص المميزة .إذن: س ة ص
ص ة س

وبالتالي: س = ص

المجموعة الخالية

الهدف : أن يتعرف الدارس إلى مفهوم المجموعة الخالية ، ورمزها { } أو f

الإجراءات والأنشطة :
أولاً :

7 ـ 7 = صفر , 7 ـ صفر = 7 , 4 ، 3 ، 2 ، 1 ، ؟؟

ثانياً :

كم عدد عناصر المجموعة ص = } أصفر ، أخضر ، أحمر {

وكم عدد عناصر المجموعة س = } أصفر ، أخضر{

وكم عدد عناصر المجموعة ع = } أصفر {

والآن : كم عدد عناصر المجموعة خ = { }

حسناً : واضح أن المجموعة خ تخلو من العناصر .

ونقول : خ = { } ، f أي مجموعة دون عناصر .

نسمي المجموعة التي تخلو من العناصر المجموعة الخالية .

4) إذا أردت أن تكتب المجموعة س لتمثل الطلبة الذين تزيد أعمارهم عن 70 سنة في صفك ! ماذا تفعل ؟؟

س = { }

أي أن س مجموعة تخلو من أي عنصر

5) وماذا عن ص إذا كانت هي مجموعة الأطفال الرضع الذين يزيد وزنهم على 100 كغم ؟؟

ص = f

أي أن ص مجموعة تخلو من أي عنصر

الحرف f يُلفظ "فاي"

نُسمي المجموعة التي تخلو من العناصر المجموعة الخالية أو الفارغة ويرمز لها بالحرفf

المجموعة الخالية

6) إذا كانت ع هي مجموعة الألوان أحمر ، أصفر ، أزرق ، أبيض .

أ) فما هي مجموعة الالوان الجزئية ص التي تنتهي بالحرف ض .

ب) وما هي مجموعة الالوان الجزئية س التي تنتهي بالحرف ر.

ج) وما هي مجموعة الالوان الجزئية خ التي تنتهي بالحرف د.

د) وما هي مجموعة الالوان الجزئية ف التي تبدأ بالحرف ب .

لنرى معاً :

نكتب المجموعة ع كالتالي : ع = } أحمر ، أصفر ، أزرق ، أبيض {

أ) ص = } أبيض {

ب) س = } أحمر ، أصفر {

ج) خ = { } مجموعة فارغة تخلو من العناصر

د) ف = f مجموعة فارغة تخلو من العناصر

سؤال : عين المجموعة الخالية فيما يأتي :
ـ مجموعة الأعداد الأولية المحصورة بين 5 ، 13.
ـ مجموعة الأعداد الطبيعية المحصورة بين 10 ، 11 .
ـ مجموعة الدول العربية في قارة أوروبا .
ـ مجموعة الأعداد الزوجية المحصورة بين 1 ، 11 .
ـ س = { صفر }

أولاً : أدرس المجموعات التالية : أ = مجموعة مضاعفات العدد 5 .
ب = مجموعة الكسور .

= مجموعة نقاط الشعاع

ن مجموعة المستقيمات التي تمر بالنقطة م

هل تستطيع حصر عدد مضاعفات العدد 5 ؟
وهل تستطيع حصر عدد المستقيمات التي تمر بالنقطة م ؟

ماذا تلاحظ ؟؟

يستحيل تحديد عدد عناصر أي من المجموعات هذه .

نُسمي المجموعة التي لا يُمكن تحديد ( تعيين ) عدد عناصرها مجموعة غيرُ منتهية

1) ص = { 1 , 3 , 5 , ...... }
نقول عن المجموعة ص أنها مجموعة محصورة من الأسفل .

ص = أ : أ الأعداد الفردية £ 1
لاحظ هنا أن المجموعة ص غير محصورة من أعلى .

2) ع = { 2 , 1 , 0 , ـ1 , ـ 2 , ........ }
نقول عن المجموعة ع أنها مجموعة محصورة من الأعلى .

ونلاحظ أنها غير محصورة من أسفل .

سؤال : حدد المجموعات غير المنتهية من بين المجموعات الآتية وعبر عن كل مجموعة منها بطريقة ذكر العناصر .
مجموعة أشهر السنة الهجرية . مجموعة مضاعفات العدد 2 .
مجموعة الاعداد الطبيعية . مجموعة الأعداد التي تقبل القسمة على 3.

ثانياً : أدرس المجموعات التالية :س = { 2 ، 4 ، 6 ، 8}
ص = مجموعة أيام الأسبوع .

ع = مجموعة أحرف كلمة سمسم .

ل = مجموعة طلبة صفك .
م = مجموعة مدن العراق .

ـ هل تستطيع تحديد عناصر المجموعة س .

ـ عبر عن المجموعة ص بطريقة ذكر العناصر .
ـ هل يمكنك معرفة وتحديد عدد عناصر المجموعة ل .

ـ كيف يمكنك الحصور على المعلومات اللازمة لذكر عناصر المجموعة م .
ماذا تلاحظ ؟!المجموعات س ، ص ، ع ، ل ، م هي مجموعات يمكننا تحديد ومعرفة عدد عناصرها .

المجموعة التي يمكن تحديد ( تعيين ) عدد عناصرها تُسمى مجموعة منتهية .

1) س = { 2 , 4 , 6 , .... , 98 , 100 }
نقول عن المجموعة س أنها مجموعة منتهية , فهي محصورة من الأسفل ومحصورة أيضاً من الأعلى .

س = أ : أ الأعداد الزوجية المحصورة بين 1 وَ 101 .

سؤال :حدد المجموعات المنتهية من المجموعات الآتية وعبر عن كل مجموعة بطريقة ذكر العناصر .
مجموعة المربعات . مجموعة أشهر السنة الميلادية .

مجموعة مضاعفات العدد 4 . مجموعة عوامل العدد 5.

مجموعة الأعداد الطبيعية الزوجية المحصورة بين 5 ، 15 .

قطعة مستقيمة والنقطتان س ، ص تقعان خارج